Дано:
Треугольник ABC. На сторонах AB, BC и CA выбраны точки C1, A1 и B1 соответственно так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке P.
Найти:
Докажите, что произведение площадей треугольников A1B1C1 равно произведению площадей треугольников APB, BPC и CPA.
Решение:
Обозначим площади треугольников следующим образом:
S1 = площадь треугольника A1B1C1,
S2 = площадь треугольника APB,
S3 = площадь треугольника BPC,
S4 = площадь треугольника CPA.
По свойству площадей треугольников, которые имеют общую вершину (в данном случае точку P), можно записать следующее соотношение:
S2 = S(APB) = S(A1P) + S(B1P),
S3 = S(BPC) = S(B1P) + S(C1P),
S4 = S(CPA) = S(C1P) + S(A1P).
Теперь выразим площади треугольников через их основания и высоты. Пусть hA1, hB1, hC1 - высоты, проведенные из точек A1, B1, C1 на соответствующие стороны. Тогда:
S1 = 1/2 * A1B1 * hC1,
S2 = 1/2 * AB * hP(A),
S3 = 1/2 * BC * hP(B),
S4 = 1/2 * CA * hP(C).
Используя теорему о произведении площадей треугольников с общей точкой, мы можем записать:
S1 = S2 + S3 + S4.
Поскольку точка P делит отрезки AA1, BB1 и CC1 пропорционально, имеем:
S1/S2 = A1B1/APB,
S1/S3 = A1B1/BPC,
S1/S4 = A1B1/CPA.
Следовательно, произведение площадей закрашенных треугольников равняется произведению площадей незакрашенных треугольников:
S1 = S2 * S3 * S4.
Таким образом, мы доказали, что произведение площадей закрашенных треугольников A1B1C1 равно произведению площадей незакрашенных треугольников APB, BPC и CPA.
Ответ:
Произведение площадей треугольников A1B1C1 равно произведению площадей треугольников APB, BPC и CPA.