Дано:
- Вершины треугольника ABC расположены вне плоскости а.
- AA1 ⊥ а, BB1 ⊥ а, CC1 ⊥ а, при этом точки A1, B1, C1 лежат в плоскости а.
- AA1 = CC1 и CC1 < BB1.
Найти:
а) Изобразить проекцию на плоскость а треугольника ABC и точку пересечения медиан треугольника ABC.
б) Проверить следующие утверждения:
1) Треугольник ABC и его проекция имеют равные стороны.
2) Периметр треугольника ABC меньше периметра его проекции.
Решение:
а) Проекция треугольника ABC на плоскость а:
Проекция треугольника ABC на плоскость а представляет собой треугольник A1B1C1, так как все точки A, B, C проецируются на точки A1, B1, C1 соответственно.
Из условия задачи мы знаем, что:
- AA1 ⊥ а, BB1 ⊥ а, CC1 ⊥ а — это значит, что линии AA1, BB1 и CC1 перпендикулярны плоскости а.
- AA1 = CC1 — это означает, что отрезки AA1 и CC1 имеют одинаковую длину.
- CC1 < BB1 — отрезок CC1 короче отрезка BB1.
Таким образом, проекция треугольника ABC на плоскость а — это треугольник A1B1C1, где A1, B1, C1 расположены в плоскости а, и их стороны будут меньше соответствующих сторон треугольника ABC. Однако, точка пересечения медиан треугольника ABC (центр масс) будет проецироваться на точку пересечения медиан треугольника A1B1C1.
Проекция медиан на плоскости всегда сохраняет пропорции, так как медианы делят треугольник на два равновеликих подмножества. Это означает, что центр масс треугольника ABC будет проецироваться на центр масс проекции треугольника A1B1C1.
б) Проверка утверждений:
1) Треугольник ABC и его проекция имеют равные стороны:
Не верно. Так как треугольник ABC находится вне плоскости а, его стороны будут больше, чем соответствующие стороны проекции на плоскость а. Проекция сокращает длину сторон, так как из-за наклона и положения треугольника в пространстве проекции измеряются по меньшей величине. Таким образом, стороны треугольника ABC и его проекция не равны.
2) Периметр треугольника ABC меньше периметра его проекции:
Не верно. Периметр треугольника ABC будет больше периметра его проекции. Это связано с тем, что длины сторон треугольника ABC, находящегося вне плоскости, всегда будут больше, чем соответствующие проекции этих сторон. Проекция сокращает расстояния, так как проецируются только компоненты, перпендикулярные плоскости, а длины проекций сторон треугольника всегда меньше длины самих сторон.
Ответ:
а) Проекция треугольника ABC на плоскость а — это треугольник A1B1C1, а точка пересечения медиан треугольника ABC проецируется на точку пересечения медиан проекции этого треугольника.
б) Утверждения:
1) Неверно.
2) Неверно.