Дано:
а) Равнобокая трапеция со сторонами 2, 2, 2, 4.
б) Равнобокая трапеция со сторонами a, a, a, b, где a < b.
Найти: синусы углов равнобокой трапеции.
Решение:
а) Для трапеции со сторонами 2, 2, 2, 4:
1. Обозначим стороны трапеции: основания равны 4 (больше) и 2 (меньше), боковые стороны равны 2. Построим высоту трапеции из одной из вершин большого основания, проведем её к меньшему основанию.
2. Обозначим высоту как h и отрезки, на которые она делит большое основание, как x и 4 - x. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузами по 2, высотой h и катетами x и 4 - x.
3. По теореме Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:
2^2 = h^2 + x^2
4 = h^2 + x^2
Для другого треугольника:
2^2 = h^2 + (4 - x)^2
4 = h^2 + (4 - x)^2
4. Подставим первое уравнение во второе:
4 = (4 - x)^2 + h^2
4 = 16 - 8x + x^2 + h^2
4 = 16 - 8x + 4
8x = 12
x = 3
Подставим значение x в первое уравнение:
4 = h^2 + 3^2
4 = h^2 + 9
h^2 = 4 - 9
h = √3
5. Углы при основаниях можно найти через синус угла, который равен арктангенсу отношения высоты к половине разности оснований:
tan(θ) = h / ((b - a) / 2)
tan(θ) = √3 / (4 - 2) / 2
tan(θ) = √3 / 1
Угловой тангенс равен √3, отсюда sin(θ) = √3 / 2.
Для углов у основания 2:
sin(α) = sin(θ) = √3 / 2
Ответ:
- sin(угол у основания 4) = √3 / 2
- sin(угол у основания 2) = √3 / 2
б) Для трапеции со сторонами a, a, a, b:
1. В равнобокой трапеции с боковыми сторонами a и основаниями a и b высота h можно найти через:
h^2 = a^2 - ((b - a) / 2)^2
2. Используя высоту, можно найти углы у основания b. Обозначим угол между боковой стороной и основанием b как θ:
tan(θ) = h / ((b - a) / 2)
tan(θ) = √(a^2 - ((b - a) / 2)^2) / ((b - a) / 2)
3. Найдем синус угла через тангенс:
sin(θ) = tan(θ) / √(1 + tan^2(θ))
Ответ:
- sin(угол у основания b) = (a^2 - ((b - a) / 2)^2) / (a^2 - ((b - a) / 2)^2 + ((b - a) / 2)^2)