а) Доказательство:
Дано: прямая r и точка A, из которой проведены наклонные к прямой r разной длины. Обозначим наклонные как AP и AQ, где AP < AQ.
Найти: показать, что чем больше наклонная, тем меньший угол она образует с прямой r.
Решение:
1. Обозначим угол между наклонной AP и прямой r как α, а между наклонной AQ и прямой r как β.
2. Используем тригонометрическую функцию тангенса для вычисления углов. Для наклонной AP угол α можно выразить как tan(α) = h / AP, где h — расстояние от точки A до прямой r.
3. Для наклонной AQ угол β можно выразить как tan(β) = h / AQ.
4. Поскольку AP < AQ, то h / AP > h / AQ, и это означает, что tan(α) > tan(β).
5. Поскольку тангенс функции монотонно возрастает в интервале от 0 до 90 градусов, то α < β.
Ответ:
Чем больше наклонная, тем меньший угол она образует с прямой r.
б) Обратное утверждение:
Формулировка: Чем меньший угол наклонная образует с прямой r, тем она длиннее.
Доказательство:
1. Обозначим угол между наклонной AP и прямой r как α и угол между наклонной AQ и прямой r как β, где α < β.
2. Используем тригонометрическую функцию тангенса. Для наклонной AP угол α можно выразить как tan(α) = h / AP.
3. Для наклонной AQ угол β можно выразить как tan(β) = h / AQ.
4. Поскольку α < β, то tan(α) < tan(β). Это означает, что h / AP < h / AQ.
5. Следовательно, AP > AQ.
Ответ:
Чем меньший угол наклонная образует с прямой r, тем она длиннее.