Question

Решите равнобедренный треугольник ABC с вершиной А и основанием ВС по следующим его элементам: а) АВ = 13, ВС =  10; б) ВС = 10, АА = 52°; в) ВС = 10, ∠B = 36°; г) АВ = 8, ∠A = 52°; д) АВ = 8, ∠B = 36°.

Answer 1

а) Дано: AB = 13, BC = 10
Найти: AC, ∠A, ∠B
Решение:
1. Используем теорему косинусов для поиска AC:
   AC^2 = AB^2 + AB^2 - 2 * AB * AB * cos(∠B)
   AC^2 = 13^2 + 13^2 - 2 * 13 * 13 * cos(∠B)
   BC^2 = 2 * AB^2 - 2 * AB^2 * cos(∠B)
   10^2 = 2 * 13^2 - 2 * 13^2 * cos(∠B)
   cos(∠B) = (2 * 13^2 - 10^2) / (2 * 13^2) = (338 - 100) / 338 = 0.703
   ∠B ≈ 45.8°
2. ∠A = 180° - 2 * ∠B ≈ 180° - 2 * 45.8° = 88.4°
3. AC = AB * sin(∠A / 2) / sin(∠B) = 13 * sin(44.2°) / sin(45.8°) ≈ 13 * 0.696 / 0.707 ≈ 12.9
Ответ:
AC ≈ 12.9, ∠A ≈ 88.4°, ∠B ≈ 45.8°

б) Дано: BC = 10, ∠A = 52°
Найти: AB, AC, ∠B
Решение:
1. Используем формулу для вычисления AB и AC:
   ∠B = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 52°) / 2 = 64°
   AB = BC / (2 * cos(∠B)) = 10 / (2 * cos(64°)) ≈ 10 / 1.102 ≈ 9.1
   AC = AB
2. ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 52° - 64° = 64°
Ответ:
AB ≈ 9.1, AC ≈ 9.1, ∠B = 64°

в) Дано: BC = 10, ∠B = 36°
Найти: AB, AC, ∠A
Решение:
1. Используем формулу для вычисления AB и AC:
   ∠A = 2 * ∠B = 2 * 36° = 72°
   AB = BC / (2 * cos(∠B)) = 10 / (2 * cos(36°)) ≈ 10 / 1.544 ≈ 6.5
   AC = AB
2. ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 72° - 36° = 72°
Ответ:
AB ≈ 6.5, AC ≈ 6.5, ∠A = 72°

г) Дано: AB = 8, ∠A = 52°
Найти: BC, ∠B, ∠C
Решение:
1. Используем теорему косинусов:
   BC^2 = 2 * AB^2 - 2 * AB^2 * cos(∠A)
   BC^2 = 2 * 8^2 - 2 * 8^2 * cos(52°)
   BC^2 = 128 - 128 * 0.615 ≈ 128 - 78.8 ≈ 49.2
   BC ≈ sqrt(49.2) ≈ 7
2. ∠B = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 52°) / 2 = 64°
3. ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 52° - 64° = 64°
Ответ:
BC ≈ 7, ∠B = 64°, ∠C = 64°

д) Дано: AB = 8, ∠B = 36°
Найти: BC, AC, ∠A
Решение:
1. Используем теорему косинусов:
   ∠A = 2 * ∠B = 2 * 36° = 72°
   BC = AB * sin(∠A) / sin(∠B) = 8 * sin(72°) / sin(36°) ≈ 8 * 0.951 / 0.588 ≈ 12.9
   AC = AB
2. ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 72° - 36° = 72°
Ответ:
BC ≈ 12.9, AC ≈ 8, ∠A = 72°