Дано:
Многоугольник с n углами, косинусы всех углов отрицательны.
Найти:
Определить, какой это может быть многоугольник, если косинусы всех его углов отрицательны.
Решение:
1. Косинус угла отрицателен, если угол находится в диапазоне 90° < угол < 270°. То есть каждый угол многоугольника должен быть в этом интервале.
2. Внутренний угол многоугольника с n сторонами равен:
(n - 2) * 180° / n.
3. Условие, что косинус угла отрицателен, означает, что внутренний угол многоугольника должен быть в диапазоне 90° < (n - 2) * 180° / n < 270°.
4. Разрешим неравенства:
90° < (n - 2) * 180° / n
(n - 2) * 180° / n > 90°
(n - 2) * 180° > 90° * n
180n - 360 > 90n
90n > 360
n > 4.
И
(n - 2) * 180° / n < 270°
(n - 2) * 180° < 270° * n
180n - 360 < 270n
-360 < 90n
n > -4 (что всегда истинно для положительных n).
5. Таким образом, для удовлетворения условия, количество сторон многоугольника должно быть больше 4.
Ответ:
Многоугольник, в котором косинусы всех углов отрицательны, является многоугольником с числом сторон больше 4.