Доказательство:
дано:
- В треугольнике ABC стороны a, b, c
- Медианы AD, BE и CF, проведенные из вершин A, B и C соответственно
найти:
- Как медианы соотносятся с длинами сторон
решение:
1. Медиана AD делит сторону BC на две равные части, и длина AD^2 = 1/4 * (2b^2 + 2c^2 - a^2) (по теореме медиан).
2. Аналогично, BE^2 = 1/4 * (2a^2 + 2c^2 - b^2) и CF^2 = 1/4 * (2a^2 + 2b^2 - c^2).
Пусть AD ≥ BE ≥ CF. Это означает, что 1/4 * (2b^2 + 2c^2 - a^2) ≥ 1/4 * (2a^2 + 2c^2 - b^2) ≥ 1/4 * (2a^2 + 2b^2 - c^2). Упростим это:
2b^2 + 2c^2 - a^2 ≥ 2a^2 + 2c^2 - b^2 и 2a^2 + 2c^2 - b^2 ≥ 2a^2 + 2b^2 - c^2.
Преобразуем и получим:
b^2 - a^2 ≥ a^2 - b^2 и a^2 - b^2 ≥ b^2 - c^2
что эквивалентно:
a^2 ≤ b^2 и b^2 ≤ c^2
что значит, что a ≤ b ≤ c. Таким образом, медиана AD больше медиан BE и CF, и AD проводится к стороне BC, самой меньшей из трех.
ответ:
Медиана треугольника, проведенная к меньшей стороне, будет самой длинной.
Обратное утверждение:
дано:
- В треугольнике A'B'C' медианы AD', BE' и CF', проведенные к сторонам a', b', c' соответственно
найти:
- Как длины сторон соотносятся с медианами
решение:
1. Пусть AD' ≥ BE' ≥ CF'. Значит, 1/4 * (2b'^2 + 2c'^2 - a'^2) ≥ 1/4 * (2a'^2 + 2c'^2 - b'^2) и 1/4 * (2a'^2 + 2b'^2 - c'^2) ≤ BE'.
2. Упростим и получим: b'^2 - a'^2 ≥ a'^2 - b'^2 и a'^2 - b'^2 ≥ b'^2 - c'^2.
Эти неравенства эквивалентны a' ≤ b' ≤ c'.
ответ:
Если медиана больше, то она проведена к меньшей стороне треугольника.