дано:
- стороны треугольника: a = 6, b = 8, c = 12.
найти:
- синус угла между медианой, проведенной к большей стороне (c), и меньшей по длине стороной (a).
решение:
1. Сначала найдем длину медианы, проведенной к стороне c (12):
m_c = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²),
где a = 6, b = 8, c = 12.
2. Подставим значения в формулу:
m_c = (1/2) * √(2 * 6² + 2 * 8² - 12²).
3. Вычислим квадратные значения:
- 6² = 36,
- 8² = 64,
- 12² = 144.
4. Подставим эти значения в формулу:
m_c = (1/2) * √(2 * 36 + 2 * 64 - 144).
m_c = (1/2) * √(72 + 128 - 144).
m_c = (1/2) * √(56).
m_c = (1/2) * (2√14) = √14.
5. Теперь найдем угол между медианой и стороной a (6). Используем теорему косинусов для нахождения cos(θ):
cos(θ) = (m_c² + a² - b²) / (2 * m_c * a).
6. Подставим известные значения:
cos(θ) = (√14² + 6² - 8²) / (2 * √14 * 6).
cos(θ) = (14 + 36 - 64) / (12√14).
cos(θ) = (-14) / (12√14).
7. Теперь найдем синус угла θ. Используем соотношение:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
sin(θ) = √(1 - cos²(θ)).
8. Сначала найдем cos²(θ):
cos²(θ) = ((-14) / (12√14))² = (196 / (144 * 14)) = (196 / 2016) = 49 / 504.
9. Теперь подставим в формулу для sin(θ):
sin(θ) = √(1 - 49 / 504) = √((504 - 49) / 504) = √(455 / 504).
ответ:
- Синус угла между медианой и меньшей по длине стороной равен sin(θ) = √(455 / 504).