дано:
- стороны треугольника: a = 9, b = 12, c = 18.
найти:
- синус угла между медианой и средней по длине стороной.
решение:
1. Определим длину медианы, проведенной к большей стороне c (18):
m_c = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²),
где a = 9, b = 12, c = 18.
2. Подставим значения в формулу:
m_c = (1/2) * √(2 * 9² + 2 * 12² - 18²).
3. Вычислим квадратные значения:
- 9² = 81,
- 12² = 144,
- 18² = 324.
4. Подставим эти значения в формулу:
m_c = (1/2) * √(2 * 81 + 2 * 144 - 324).
m_c = (1/2) * √(162 + 288 - 324).
m_c = (1/2) * √(126).
5. Упростим:
m_c = (1/2) * (3√14).
Теперь найдем длину средней по длине стороны (b = 12).
6. Обозначим:
- длина медианы m_c = (3√14) / 2,
- длина средней стороны b = 12.
7. Теперь найдем угол между медианой и средней стороной. Используем теорему косинусов:
cos(θ) = (m_c² + b² - a²) / (2 * m_c * b),
где a = 9.
8. Сначала найдем m_c²:
m_c² = ((3√14) / 2)² = (9 * 14) / 4 = 126 / 4 = 31.5.
9. Теперь подставим значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = (31.5 + 12² - 9²) / (2 * (3√14) / 2 * 12).
cos(θ) = (31.5 + 144 - 81) / (36√14).
cos(θ) = (94.5) / (36√14).
10. Найдем синус угла θ, используя соотношение:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
sin(θ) = √(1 - cos²(θ)).
11. Сначала найдем cos²(θ):
cos²(θ) = (94.5 / (36√14))².
12. Подставим в формулу для sin(θ):
sin(θ) = √(1 - (94.5² / (36² * 14))).
ответ:
- Синус угла между медианой и средней по длине стороной равен sin(θ) = √(1 - (94.5² / (36² * 14))).