дано: тетраэдр ABCD. Проведены все средние линии граней тетраэдра.
найти: отношения площадей поверхностей исходного тетраэдра и новых тетраэдров, площадь поверхности многогранника после отсечения.
решение:
1. Средние линии каждой грани пересекаются и создают 4 новых тетраэдра. Каждый новый тетраэдр имеет вершины, расположенные в серединах граней исходного тетраэдра. Эти новые тетраэдры равны по площади поверхности и составляют 1/8 от площади поверхности исходного тетраэдра, так как каждый из новых тетраэдров имеет сторону в два раза короче, чем исходный тетраэдр, и его площадь будет уменьшена в 1/4 раза по каждой грани, что в целом дает уменьшение в 1/8.
2. После отсечения четырёх новых тетраэдров из исходного остаётся многогранник, состоящий из 4 треугольных пирамид, каждая из которых имеет основание в середине каждой из граней исходного тетраэдра. В результате многогранник, остающийся после отсечения, является октаэдром.
3. Площадь поверхности октаэдра можно найти как 2/3 площади поверхности исходного тетраэдра. Это связано с тем, что при отсечении 4 новых тетраэдров каждая новая поверхность представляет собой грань октаэдра.
ответ: Площадь поверхности каждого нового тетраэдра составляет 1/8 площади поверхности исходного тетраэдра. Площадь поверхности многогранника (октаэдра), оставшегося после отсечения новых тетраэдров, составляет 2/3 площади поверхности исходного тетраэдра.