Дано:
- Треугольник ABC.
- Медиана AD, проведенная к стороне BC.
- Хорда EF, параллельная стороне BC.
Найти:
Докажите, что медиана AD делит хорду EF пополам.
Решение:
1. Параллельные прямые:
Поскольку EF || BC, углы при точках E и F равны углам при вершине A (соответствующие углы).
2. Применение подобия:
Треугольники AEF и ABC являются подобными (угол-угол). Если обозначить коэффициент подобия как k, то:
AE / AB = AF / AC = EF / BC = k.
3. Деление отрезков:
Медиана AD, проведенная из вершины A к середине стороны BC, делит отрезок BC пополам. Обозначим точки D и M, где D — середина BC, а M — середина EF.
Из подобия треугольников AEF и ABC следует:
AM / AD = EF / BC = k.
4. Вывод:
Поскольку медиана AD делит BC пополам, то AM = MD и AF = ME. Таким образом, EF делится медианой AD пополам.
Обобщение:
Если в любом треугольнике проведена медиана к одной из сторон, то каждая хорда, параллельная этой стороне, будет делиться данной медианой пополам.