Дано: трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB параллельно CD. Пусть M - точка пересечения диагоналей AC и BD, N - точка пересечения продолжений боковых сторон AD и BC.
Найти: доказать, что прямая, проходящая через M и N, проходит через середины оснований AB и CD.
Решение:
1. Пусть A и B - верхнее основание, C и D - нижнее основание. Обозначим середины оснований AB и CD как E и F соответственно.
2. Прямая, проходящая через M и N, пересекает середины оснований AB и CD. Нужно доказать, что E и F лежат на этой прямой.
3. Поскольку AB || CD, треугольники AMB и CMD подобны по углам (AA). Это означает, что отрезок MN пересекает трапецию и пропорционален основанию AB и CD.
4. Прямая, соединяющая середины боковых сторон трапеции (проведенная через E и F), является средней линией трапеции и параллельна основаниям.
5. Поскольку M и N являются точками пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон соответственно, прямая MN должна быть параллельна основаниям и совпадать со средней линией трапеции.
6. Таким образом, если прямая MN совпадает со средней линией трапеции, она проходит через середины оснований AB и CD.
Ответ: Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений её боковых сторон, действительно проходит через середины оснований трапеции.