Дано: трапеция ABCD с основаниями AB = a и CD = b (a > b). Проведена средняя линия EF, параллельная основаниям и пересекающая диагональ AC.
Найти:
а) Могут ли полученные части средней линии быть равными?
б) В каком отношении делится средняя линия диагональю?
в) Чему равен отрезок средней линии между двумя диагоналями?
г) Могут ли полученные при пересечении диагоналей и средней линии три части средней линии быть равными?
д) Если ответ в пункте «г» отрицательный, то какая из частей самая большая?
Решение:
а) Средняя линия EF трапеции равна (a + b) / 2. Если диагональ AC пересекает EF в точке P, то точка P делит EF на два отрезка, и их длины зависят от расположения точки P. Эти отрезки не могут быть равными, так как EF не может быть равномерно разделена на равные части диагональю.
б) Средняя линия EF делится диагональю AC в отношении 1:1, так как диагонали трапеции делят среднюю линию на две равные части.
в) Отрезок средней линии между двумя диагоналями равен половине суммы оснований. Это значение всегда равно (a + b) / 2.
г) Нет, три части средней линии не могут быть равными. Диагонали трапеции пересекаются в точке, которая делит среднюю линию в отношении 1:1, что создает два отрезка равной длины, но средняя линия не может быть разделена на три равные части диагоналями.
д) Поскольку три части средней линии не могут быть равными, то наибольшая из них — это часть, которая непосредственно перед диагональю, делящая среднюю линию на две равные части.
Ответ:
а) Нет.
б) 1:1.
в) (a + b) / 2.
г) Нет, три части равными быть не могут.
д) Самая большая часть находится между основанием и точкой пересечения.