Дано: Трапеция ABCD с основаниями AB и CD, средняя линия KM и диагональ AC.
а) Объясните, почему часть средней линии трапеции в каждом из треугольников ABC и ACD является средней линией этих треугольников.
Решение: Средняя линия трапеции KM равна полусумме оснований AB и CD и параллельна этим основаниям. Диагональ AC делит трапецию на два треугольника: ABC и ACD. Средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AB и BC, будет параллельна и равна средней линии треугольника ACD, соединяющей середины AC и CD. Поскольку KM является средней линией трапеции и параллельна ее основаниям, а также параллельна средней линии треугольников ABC и ACD, то KM в каждом из этих треугольников является средней линией.
б) Пусть известны большее основание трапеции (AB) и одна из средних линий треугольников (например, M1 для треугольника ABC или M2 для треугольника ACD). Можно ли найти другое основание трапеции (CD)?
Решение: Пусть AB = a (большее основание), KM = M1 (средняя линия треугольника ABC). Поскольку KM – средняя линия трапеции, она равна (AB + CD) / 2. Также известно, что KM равна средней линии треугольника ABC, т.е., KM = M1. Аналогично, для треугольника ACD средняя линия будет M2 и KM = M2.
Для нахождения второго основания CD можно использовать следующую формулу:
CD = 2 * KM - AB
Так как KM = M1 и M2, соответственно, мы можем выразить CD как:
CD = 2 * M1 - AB (если M1 для треугольника ABC)
или
CD = 2 * M2 - AB (если M2 для треугольника ACD)
Ответ: Да, можно найти другое основание трапеции, зная большее основание и одну из средних линий треугольников ABC или ACD.