Дано:
- Масса Земли M_Земля = 6 × 10²⁴ кг
- Расстояние от Земли до Луны R = 384000 км = 384000000 м
- Период обращения Луны вокруг Земли T = 27.32 суток = 27.32 × 24 × 3600 с = 2355840 с
Найти:
- Массу Луны M_Луна.
Решение:
1. Используем закон всемирного тяготения и формулу для центростремительного ускорения:
F = G * (M_Земля * M_Луна) / R² = M_Луна * (v² / R),
где G - гравитационная постоянная (G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²), v - линейная скорость Луны.
2. Линейная скорость v можно выразить через период T:
v = 2 * π * R / T.
3. Подставим v в уравнение:
F = G * (M_Земля * M_Луна) / R² = M_Луна * [(2 * π * R / T)² / R].
4. Упрощаем уравнение:
G * M_Земля / R² = (4 * π² * M_Луна) / T².
5. Перепишем уравнение для M_Луна:
M_Луна = (G * M_Земля * T²) / (4 * π² * R²).
6. Подставим известные значения:
M_Луна = (6.674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг² * 6 × 10²⁴ кг * (2355840 с)²) / (4 * π² * (384000000 м)²).
7. Вычисляем:
M_Луна ≈ (6.674 × 10⁻¹¹ * 6 × 10²⁴ * 5.558 × 10¹²) / (4 * 9.87 * 1.47456 × 10¹⁸).
Теперь подставим значения:
M_Луна ≈ (2.23 × 10²⁴) / (5.84 × 10¹⁹) ≈ 3.81 × 10²² кг.
Ответ:
Масса Луны составляет примерно 3.81 × 10²² кг.