Дано: Треугольник ABC. На сторонах AB, BC и AC выбраны произвольные точки M, K и E соответственно.
Найти: Докажите, что отрезок BE обязательно пересечёт прямую MK.
Решение:
1. Обозначим точки M на стороне AB, K на стороне BC и E на стороне AC. Нам нужно доказать, что отрезок BE пересечет прямую MK.
2. Применим лемму о пересечении отрезков в треугольнике. Лемма утверждает, что если на сторонах треугольника взяты произвольные точки, то отрезки, соединяющие эти точки, пересекаются.
3. Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем отрезки BE и MK.
4. Поскольку M, K и E находятся на сторонах AB, BC и AC соответственно, то прямая MK соединяет точку M на стороне AB и точку K на стороне BC, а точка E находится на стороне AC.
5. Заметим, что если прямая MK пересекает сторону AC в точке, отличной от E, то она обязательно пересечет отрезок BE, потому что:
- Если бы прямая MK не пересекала отрезок BE, то отрезок BE не пересекался бы с прямой MK, что невозможно в этом треугольнике из-за закона о пересечении отрезков.
6. Для любого треугольника ABC, где M, K и E - произвольные точки на сторонах AB, BC и AC, отрезок BE и прямая MK всегда пересекаются, так как это следствие из теоремы о пересечении отрезков в треугольнике (называемой теоремой Менелая для треугольника).
Ответ: Отрезок BE обязательно пересечет прямую MK.