Дано:
- Треугольник ABC.
- Точки M и K расположены на сторонах AB и BC соответственно.
- AM = CK.
- BM = BK.
Найти:
Докажите, что AK = CM.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения сторон треугольника с отрезками AM и CK. Пусть M находится на AB, а K на BC.
2. По условиям задачи, AM = CK и BM = BK.
3. Рассмотрим треугольники AMB и BKC. У нас есть следующие данные:
- AM = CK (по условию).
- BM = BK (по условию).
4. В треугольниках AMB и BKC:
- угол AMB равен углу BKC, так как они противоположны и лежат в одной и той же плоскости.
- Следовательно, треугольники AMB и BKC подобны по двум углам.
5. Так как треугольники AMB и BKC подобны и AM = CK, BM = BK, это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
6. Теперь, для подобия треугольников AMB и BKC, у нас есть:
- AM/CK = BM/BK, что упрощается до AM/CK = 1 (так как AM = CK и BM = BK).
7. В подобии треугольников AMB и BKC также соблюдается равенство сторон, что приводит к равенству противоположных сторон треугольников.
8. Таким образом, так как соответствующие стороны треугольников AMB и BKC равны, то и отрезки AK и CM, соединяющие концы отрезков, тоже равны.
Ответ:
AK = CM.