Дано:
- В четырёхугольнике ABCD
- ∠BAC = ∠BDC
- ∠CAD = ∠BDA
Найти:
Докажите, что AB = CD.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. Из данных условий имеем:
- ∠BAC = ∠BDC (по условию),
- ∠CAD = ∠BDA (по условию).
2. В треугольниках ABD и CDB угол ∠BDA и угол ∠BDC равны соответственно углам ∠CAD и ∠BAC.
3. Поэтому углы между сторонами этих треугольников равны, и можем записать, что угол ∠ADB = угол ∠CBD (так как один из углов равен каждому из треугольников).
4. Используем теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне между ними (AA):
- Углы ∠BAC = ∠BDC,
- Углы ∠CAD = ∠BDA,
- Соответствующая сторона AB и CD.
5. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны.
6. Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны равны, что означает AB = CD.
Ответ:
AB = CD.