Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором выполняются следующие условия:
1. ∠ABD = ∠CAB
2. ∠DBC = ∠CAD
3. AB = CD
Найти: доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.
Решение:
Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что хотя бы один из углов в нем равен 90°.
1. Из условий задачи видно, что углы ∠ABD и ∠CAB равны между собой, а также углы ∠DBC и ∠CAD равны между собой. Это означает, что треугольники ABD и ACD имеют пару равных углов.
2. Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны по признаку "по двум углам". Поскольку AB = CD (по условию), то треугольники ABD и ACD равны.
3. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, а также равны углы. Это означает, что ∠BAD = ∠DCA.
4. Теперь рассмотрим угол ∠ABC. Он равен углу ∠BCD (поскольку эти углы равны в равных треугольниках). Таким образом, угол ∠ABC = 90°.
Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.