В   четырёхугольнике  АВСD: ∠ABD = ∠CAB, ∠DBC = ∠CAD, AB = CD. Докажите,  что  четырёхугольник    ABCD  является  прямоугольником
от

1 Ответ

Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором выполняются следующие условия:
1. ∠ABD = ∠CAB
2. ∠DBC = ∠CAD
3. AB = CD

Найти: доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Решение:

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что хотя бы один из углов в нем равен 90°.

1. Из условий задачи видно, что углы ∠ABD и ∠CAB равны между собой, а также углы ∠DBC и ∠CAD равны между собой. Это означает, что треугольники ABD и ACD имеют пару равных углов.
   
2. Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны по признаку "по двум углам". Поскольку AB = CD (по условию), то треугольники ABD и ACD равны.

3. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, а также равны углы. Это означает, что ∠BAD = ∠DCA.

4. Теперь рассмотрим угол ∠ABC. Он равен углу ∠BCD (поскольку эти углы равны в равных треугольниках). Таким образом, угол ∠ABC = 90°.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником.
от