Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
- Точки M и K на продолжении основания AC так, что углы ∠ABM и ∠CBK равны.
Найти:
- Доказать, что AM = CK.
Решение:
1. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠CBK, которые равны по условию задачи.
2. Поскольку AB = AC, треугольник ABC является равнобедренным, и углы при основании равны: ∠CAB = ∠CBA.
3. Обозначим угол ∠ABM как α и угол ∠CBK как α.
4. Тогда можем записать:
∠ABM = α и ∠CBK = α.
5. Рассмотрим треугольники ABM и CBK:
- Угол AMB = 180° - ∠ABM = 180° - α.
- Угол BKC = 180° - ∠CBK = 180° - α.
6. Углы AMB и BKC равны, следовательно, треугольники ABM и CBK подобны по двум углам (по угловой подобности).
7. Из подобия треугольников имеем:
AM / CK = AB / CB.
8. Поскольку AB = AC, получаем:
AM / CK = AB / AB = 1.
9. Следовательно, AM = CK.
Ответ:
Доказано, что AM = CK.