Дано:
- Квадрат ABCD со сторонами длиной a.
- На каждой стороне квадрата взяты по точке E, F, G, H так, что отрезки AE = BF = CG = DH = x, где x < a.
Найти:
Докажите, что точки E, F, G и H образуют квадрат.
Решение:
1. Определим координаты вершин квадрата:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
2. Найдем координаты точек E, F, G и H:
- Точка E на стороне AB: E(x, 0).
- Точка F на стороне BC: F(a, x).
- Точка G на стороне CD: G(a - x, a).
- Точка H на стороне DA: H(0, a - x).
3. Теперь найдем расстояния между точками E и F, F и G, G и H, H и E для проверки, являются ли они равными:
4. Рассчитаем длину отрезка EF:
EF = √((a - x) - x)^2 + (0 - x)^2 = √((a - 2x)^2 + (-x)^2) = √((a - 2x)^2 + x^2) = √(a^2 - 4ax + 4x^2 + x^2) = √(a^2 - 4ax + 5x^2).
5. Рассчитаем длину отрезка FG:
FG = √((a - x) - a)^2 + (a - x)^2 = √((-x)^2 + (a - x)^2) = √(x^2 + (a - x)^2) = √(x^2 + a^2 - 2ax + x^2) = √(a^2 - 2ax + 2x^2).
6. Рассчитаем длину отрезка GH:
GH = √(0 - (a - x))^2 + ((a - x) - a)^2 = √((x - a)^2 + (-x)^2) = √((x - a)^2 + x^2) = √(x^2 - 2ax + a^2 + x^2) = √(a^2 - 2ax + 2x^2).
7. Рассчитаем длину отрезка HE:
HE = √(0 - x)^2 + ((a - x) - 0)^2 = √((-x)^2 + (a - x)^2) = √(x^2 + (a - x)^2) = √(x^2 + a^2 - 2ax + x^2) = √(a^2 - 2ax + 2x^2).
8. Все четыре отрезка (EF, FG, GH, HE) имеют одинаковую длину, что доказывает, что фигура EFGH является квадратом.
9. Углы между соседними сторонами также равны 90°, так как каждая из сторон перпендикулярна.
Ответ:
Четыре отмеченные точки E, F, G и H образуют квадрат.