Дано:
- Квадрат ABCD со стороной длиной a.
- На продолжении каждой стороны квадрата взяты по точке E, F, G и H так, что отрезки AE = BF = CG = DH = x, где x > a.
Найти:
Докажите, что точки E, F, G и H образуют квадрат.
Решение:
1. Определим координаты вершин квадрата:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
2. Найдем координаты точек E, F, G и H:
- Точка E на продолжении стороны AB: E(x, 0).
- Точка F на продолжении стороны BC: F(a, x).
- Точка G на продолжении стороны CD: G(a - x, a).
- Точка H на продолжении стороны DA: H(0, a - x).
3. Теперь найдем расстояния между точками E и F, F и G, G и H, H и E для проверки, являются ли они равными.
4. Рассчитаем длину отрезка EF:
EF = √((a - x) - x)^2 + (0 - x)^2
= √((a - 2x)^2 + (-x)^2)
= √((a - 2x)^2 + x^2)
= √(a^2 - 4ax + 4x^2 + x^2)
= √(a^2 - 4ax + 5x^2).
5. Рассчитаем длину отрезка FG:
FG = √((a - x) - a)^2 + (x - 0)^2
= √((-x)^2 + (x)^2)
= √(x^2 + x^2)
= √(2x^2)
= x√2.
6. Рассчитаем длину отрезка GH:
GH = √(0 - (a - x))^2 + ((a - x) - a)^2
= √((x - a)^2 + (-x)^2)
= √((x - a)^2 + x^2)
= √(x^2 - 2ax + a^2 + x^2)
= √(2x^2 - 2ax + a^2).
7. Рассчитаем длину отрезка HE:
HE = √(0 - x)^2 + ((a - x) - 0)^2
= √((-x)^2 + (a - x)^2)
= √(x^2 + (a - x)^2)
= √(x^2 + a^2 - 2ax + x^2)
= √(2x^2 - 2ax + a^2).
8. Теперь мы видим, что все четыре отрезка равны:
EF = FG = GH = HE = x√2.
9. Кроме того, так как углы между соседними сторонами являются прямыми (угол между направлением от точки к вершине квадрата и направлением к следующей точке), то фигура EFGH является квадратом.
Ответ:
Четыре отмеченные точки E, F, G и H образуют квадрат.