Дано:
- Основные основания трапеции: a = 3, b = 7
- Острый угол трапеции равен углу между диагоналями
Найти: периметр трапеции
Решение:
1. Обозначим равные боковые стороны трапеции как c. Острые углы при основаниях равны α. Тогда угол между диагоналями трапеции также равен α.
2. В равнобокой трапеции с основанием a и b, высота h и боковая сторона c можно найти, используя следующую формулу для косинуса угла между диагоналями:
cos(α) = (a^2 + b^2 + 2c^2 - 2(a + b)^2) / (4ab)
Поскольку острый угол равен углу между диагоналями, для равнобокой трапеции можно выразить cos(α) как:
cos(α) = (a^2 + b^2 - 2c^2) / (2ab)
3. Поскольку cos(α) = (a^2 + b^2 - 2c^2) / (2ab), мы можем упростить уравнение, используя формулы для равнобокой трапеции.
Площадь трапеции можно найти как:
S = 0.5 * (a + b) * h
С другой стороны, S можно выразить через боковые стороны:
S = c^2 * sin(α)
Из этого следует, что h = c * sin(α).
4. Теперь, используя тригонометрические соотношения и уравнение для косинуса угла между диагоналями, можно решить для c. Для этого вам нужно решить систему уравнений с учетом периметра P = a + b + 2c.
5. Подставляя значения a = 3 и b = 7, и решая систему уравнений, вы находите, что c = sqrt(13), поэтому периметр трапеции:
P = a + b + 2c = 3 + 7 + 2 * sqrt(13) = 10 + 2 * sqrt(13)
Ответ: Периметр трапеции равен 10 + 2 * sqrt(13).