Дано:
- Треугольник ABC.
- Прямая l параллельна стороне AC и делит сторону AB пополам в точке D.
Найти:
- Доказать, что прямая l делит сторону BC пополам в некоторой точке E.
Решение:
1. Обозначим точки:
- A = (0, 0)
- B = (b, 0)
- C = (c, h)
- D = (d, 0) — середина AB
- l параллельна AC и пересекает AB в D.
2. Так как прямая l параллельна AC, и делит AB пополам, лемма о параллельных прямых говорит, что лемма делит и другую сторону треугольника пополам. Мы используем подобие треугольников для доказательства.
3. Треугольники ABD и AEC подобны, так как AD || EC (параллельные линии).
4. По теореме о подобии треугольников:
- Треугольник ABD подобен треугольнику AEC (угол BAD = угол EAC, угол ABD = угол AEC, и угол A = угол A).
5. Поскольку прямые AD и EC параллельны и AD = 1/2 AB, из подобия треугольников следует, что также EC = 1/2 BC.
6. Поскольку D делит AB пополам и EC делит BC пополам, то прямая l пересекает BC в точке E, которая является серединой BC.
Ответ:
Прямая, параллельная одной стороне треугольника и делящая другую сторону пополам, делит третью сторону пополам.