Дано:
- Четырехугольник ABCD, где средние линии (отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон) равны.
Найти:
- Доказать, что диагонали этого четырехугольника перпендикулярны.
Решение:
1. Пусть M и N — середины сторон AB и CD, а P и Q — середины сторон AD и BC. Средние линии соединяются и, по условию, MN = PQ.
2. Средние линии четырехугольника делят его на два равных параллелограмма. Так как MN и PQ равны, четырехугольник AMND и PBCQ являются параллелограммами. Следовательно, они равны и параллельны.
3. Рассмотрим четырехугольник MNPQ. В нем MN и PQ являются параллельными и равными, и MP и NQ тоже являются параллельными и равными. Таким образом, MNPQ — ромб.
4. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом.
5. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, диагонали четырехугольника ABCD также будут перпендикулярны.
Ответ:
Диагонали четырехугольника, в котором средние линии равны, перпендикулярны.