Дано: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Пусть D — точка на катете AC. Соединяем точку D с вершиной B и с серединой гипотенузы AB. Пусть M — середина гипотенузы AB. Из условия известно, что углы, образованные этими отрезками, равны.
Найти: отношение, в котором точка D делит катет AC.
Решение:
1. Пусть угол между отрезками DM и DB равен α, и угол между отрезками DM и DC равен α. Это означает, что углы, образованные DM, равны, и точка D расположена таким образом, что угол MDB = угол MDC.
2. Поскольку M — середина гипотенузы, треугольник AMB и треугольник BMC равны (по двум сторонам и углу между ними, используя свойства медианы в прямоугольном треугольнике). Следовательно, AM = MB и BM = MC.
3. По условию угол DMB = угол DMC. Значит, треугольники DMB и DMC подобны (по двум углам).
4. Соответственно, отношение сторон в этих треугольниках будет одинаковым. Таким образом, отношение отрезков MD и DB равно отношению MD и DC.
5. В результате получаем, что точка D делит катет AC в таком же отношении, в каком делит катет BD. В прямоугольном треугольнике, где угол между отрезками DM и DB равен углу между DM и DC, получается, что точка D делит катет AC в отношении 1:1.
Ответ: Точка D делит катет AC в отношении 1:1.