Question

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли такие точки Е и K, что АЕ : ВЕ = 1 : 4, ВK : СK = 2 : 3. В каком отношении медиана ВМ треугольника АВС делит отрезок ЕK?

Answer 1

Дано:
- Треугольник ABC.
- Точки E на стороне AB и K на стороне BC.
- Отношение отрезков: AE : BE = 1 : 4.
- Отношение отрезков: BK : CK = 2 : 3.

Найти:
- В каком отношении медиана BM треугольника ABC делит отрезок EK.

Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
   - Пусть AE = x. Тогда BE = 4x.
   - Сумма AB = AE + BE = x + 4x = 5x.

2. Обозначим длины отрезков на стороне BC:
   - Пусть BK = 2y. Тогда CK = 3y.
   - Сумма BC = BK + CK = 2y + 3y = 5y.

3. Медиана BM делит сторону AC пополам. Обозначим точку M как середину AC.

4. Используем подобие треугольников для нахождения отношения, в котором BM делит отрезок EK:
   - Отрезок EK = EK = BE + BK = 4x + 2y.

5. Теперь найдем отношение, в котором BM делит EK.
   - Отрезок EK делится в отношении BE : BK = 4x : 2y = 2x : y.

6. Так как BM является медианой, она делит отрезок EK в отношении, обратном отношению отрезков BE и BK.

7. Таким образом, медиана BM делит отрезок EK в отношении:
   - (2y) : (4x) = 2 : 4 = 1 : 2.

Ответ:
Медиана BM делит отрезок EK в отношении 1 : 2.