Дано: радиус окружности R = 5, один из углов трапеции равен 60°, одно из оснований трапеции является диаметром окружности.
Найти: периметр трапеции.
Решение:
1. Обозначим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны. Пусть AB = 2R = 10, так как оно является диаметром окружности.
2. Угол, противоположный углу 60°, также равен 60° (так как сумма противоположных углов трапеции, вписанной в окружность, равна 180°). Это означает, что трапеция является равнобедренной, и боковые стороны AD и BC равны между собой.
3. Рассмотрим треугольник ABD, где AB = 10, угол BAD = 60°. Поскольку AB является диаметром, угол BCD в этом треугольнике также будет 90° (по теореме о вписанном угле, который равен 90° при опирании на диаметр).
4. В треугольнике ABD угол BAD = 60° и угол ABD = 90°. Таким образом, треугольник ABD является прямоугольным треугольником с углом 60°. Следовательно, угол ABD = 30°.
5. В прямоугольном треугольнике ABD с углом 30° и углом 60° длина стороны, противолежащей углу 30°, равна половине гипотенузы, которая равна 5 (половина основания трапеции, так как диаметр равен 10). Таким образом, длина AD = BD = 5 * sqrt(3).
6. Поскольку боковые стороны трапеции равны, периметр трапеции равен: периметр = AB + CD + 2 * AD = 10 + 10 + 2 * 5 * sqrt(3) = 20 + 10 * sqrt(3).
Ответ: периметр трапеции равен 20 + 10 * sqrt(3).