Дано:
Трапеция ABCD, где угол DAB равен 20°, большее основание AB равно 1, меньшее основание CD обозначим как x. Боковая сторона AD равна x.
Найти:
Радиус окружности R, в которую вписана трапеция.
Решение:
1. В соответствии с условиями задачи, по свойствам вписанной трапеции, угол DAB и угол ADC являются смежными и удовлетворяют условию: угол DAB + угол ADC = 180°. Таким образом, угол ADC равен 160°.
2. Рассмотрим треугольник ABD. Он является произвольным треугольником, в котором известны углы и одна сторона (AB = 1).
3. Применим закон синусов для треугольника ABD:
AB / sin(∠ADB) = AD / sin(∠ABD)
где ∠ABD = 20°, а ∠ADB = 160°.
4. Обозначим AD = x. Подставляем известные значения:
1 / sin(160°) = x / sin(20°).
5. Решая это уравнение относительно x, получаем:
x = sin(20°) / sin(160°).
6. Используем тригонометрическую идентичность: sin(160°) = sin(20°), тогда:
x = sin(20°) / sin(20°) = 1.
7. Теперь мы знаем, что меньшее основание CD равно 1.
8. Для нахождения радиуса окружности R, воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в трапецию:
R = (a + b) / (2 * sin(α)),
где a - большее основание (1), b - меньшее основание (1), α - угол между основаниями, который равен 20°.
9. Подставляем значения:
R = (1 + 1) / (2 * sin(20°)) = 2 / (2 * sin(20°)) = 1 / sin(20°).
Ответ:
Таким образом, радиус окружности R равен 1 / sin(20°).