Дано:
Трапеция ABCD с основаниями a и b, вписанная в окружность. Угол между боковыми сторонами, видимый из центра окружности, равен 120°.
Найти:
Диагонали трапеции AC и BD.
Решение:
1. Обозначим длины оснований: a = AB и b = CD.
2. Из условия задачи следует, что угол AOB равен 120°, где O — центр окружности.
3. Поскольку трапеция вписана в окружность, её диагонали пересекаются и образуют два треугольника: AOB и COD.
4. Для нахождения длины диагоналей воспользуемся свойством, что длина диагонали в трапеции может быть найдена через стороны и угол, разделяющий эти стороны.
5. Применяем закон косинусов в треугольнике AOB:
AC^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(∠AOB),
где OA и OB — радиусы окружности, которые равны R (радиус окружности).
6. Подставляем значение угла:
AC^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(120°).
7. Зная, что cos(120°) = -1/2, получаем:
AC^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2.
8. Таким образом, длина диагонали AC равна:
AC = sqrt(3) * R.
9. Теперь найдем вторую диагональ BD аналогично:
BD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 * OC * OD * cos(∠COD).
Поскольку угол COD также равен 120° (из-за симметрии), получаем то же самое:
BD^2 = R^2 + R^2 + R^2 = 3R^2.
10. Следовательно, длина диагонали BD составляет:
BD = sqrt(3) * R.
Ответ:
Таким образом, длины диагоналей трапеции составляют AC = sqrt(3) * R и BD = sqrt(3) * R.