Дано:
Трапеция ABCD с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона AB видна из центра окружности O под углом 120°.
Найти:
Среднюю линию трапеции.
Решение:
1. Обозначим основание трапеции как a (основание AD) и b (основание BC). Средняя линия трапеции обозначается как m. Она вычисляется по формуле:
m = (a + b) / 2.
2. Рассмотрим треугольник AOB, где AO и BO — радиусы окружности, а угол AOB равен 120°.
3. Поскольку AO и BO являются радиусами окружности, то длины этих отрезков равны и обозначим их как R. Используем закон косинусов для треугольника AOB:
AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 * AO * BO * cos(∠AOB),
AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(120°).
4. Значение косинуса 120° равно -0.5. Подставляем это значение в уравнение:
AB^2 = R^2 + R^2 - 2 * R^2 * (-0.5),
AB^2 = 2R^2 + R^2,
AB^2 = 3R^2.
5. Теперь находим длину боковой стороны AB:
AB = sqrt(3) * R.
6. Известно, что высота h связана с радиусом окружности R и углом AOB. Высота h может быть выражена через радиус окружности и синус угла AOB:
h = R * sin(60°),
так как угол AOB делится пополам на два равных угла по 60°. Значение синуса 60° равно sqrt(3)/2. Таким образом,
h = R * (sqrt(3) / 2).
7. Теперь выразим радиус R через высоту h:
R = 2h / sqrt(3).
8. Подставим значение R в длину боковой стороны AB:
AB = sqrt(3) * (2h / sqrt(3)) = 2h.
9. Поскольку трапеция вписана в окружность, основания трапеции имеют равные средние линии, следовательно:
a = b = 2h.
10. Теперь можно найти среднюю линию трапеции:
m = (a + b) / 2;
m = (2h + 2h) / 2 = 2h / 2 = h.
Ответ:
Средняя линия трапеции равна h.