Дано:
- Трапеция ABCD с основаниями AB = 5 и CD = 8 вписана в окружность.
- Угол при основании равен 45°.
Найти:
- Расстояние от центра окружности до средней линии трапеции.
Решение:
1. Поскольку трапеция вписана в окружность, это означает, что она является окружной трапецией. В окружной трапеции сумма углов при противоположных основаниях равна 180°.
2. Учитывая, что угол при основании равен 45°, угол при другом основании будет 135° (поскольку 180° - 45° = 135°). Трапеция ABCD имеет угол при основании ∠A = 45° и угол ∠D = 135°.
3. Средняя линия трапеции (медиана) соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Длина средней линии равна полусумме оснований:
М = (AB + CD) / 2
М = (5 + 8) / 2 = 6.5
4. В трапеции, вписанной в окружность, можно использовать следующее соотношение для определения расстояния от центра окружности до средней линии. Расстояние от центра окружности до средней линии (медианы) равно радиусу окружности умноженному на косинус угла при основании.
Для вычисления радиуса окружности можно использовать формулу радиуса окружности окружной трапеции:
R = (a + b) / (2 * sin(∠A)) или R = (a + b) / (2 * sin(∠D))
Где a и b — длины оснований трапеции.
В этом случае угол 45° имеет синус равный 0.707:
R = (5 + 8) / (2 * sin(45°))
R = 13 / (2 * 0.707)
R ≈ 9.2
5. Расстояние от центра окружности до средней линии равно радиусу окружности умноженному на косинус угла при основании:
Расстояние = R * cos(45°)
Расстояние = 9.2 * 0.707
Расстояние ≈ 6.5
Ответ:
Расстояние от центра окружности до средней линии трапеции равно 6.5.