Дано: В треугольнике ABC проведены высоты АК и CE. Нужно доказать, что четырёхугольник AEKC можно вписать в окружность, и найти центр этой окружности.
Найти: Центр окружности, в которую можно вписать четырёхугольник AEKC.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC. Проведём высоты АК и CE, которые пересекаются в точке H (ортогональном центре треугольника ABC).
2. Докажем, что четырёхугольник AEKC можно вписать в окружность. Для этого покажем, что суммы противоположных углов в четырёхугольнике AEKC равны 180°.
3. Угол AEK и угол AKC являются внутренними углами треугольников AEC и AKC соответственно. Заметим, что угол AEK = 90° - угол C и угол AKC = 90° - угол E (так как АК и CE – высоты).
4. Углы в четырёхугольнике AEKC составляют: угол AEK + угол AKC = (90° - угол C) + (90° - угол E) = 180° - угол C - угол E.
5. Так как сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, мы имеем, что угол C + угол E = 90°. Поэтому угол AEK + угол AKC = 180° - 90° = 90°. Таким образом, сумма противоположных углов в четырёхугольнике AEKC равна 180°, что доказывает, что четырёхугольник AEKC можно вписать в окружность.
6. Центр этой окружности является центром окружности, описанной вокруг треугольника AEC. Это также можно записать как центр окружности, которая проходит через точки A, E, C и K.
7. Чтобы найти центр окружности, опишем окружность вокруг треугольника AEC. Центр этой окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника AEC. Поскольку четыре угла в четырёхугольнике AEKC равны 180°, центр окружности будет находиться на линии, соединяющей точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника AEC.
Ответ: Четырёхугольник AEKC можно вписать в окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника AEC.