Дано:
- Квадрат со стороной s.
- Квадрат с вершинами в точках A, B, C и D на клетчатой бумаге.
Найти:
- Количество узлов на клетчатой бумаге, расстояния от которых до всех вершин квадрата не превышают его стороны s.
Решение:
1. Определите координаты вершин квадрата. Пусть они равны A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), и D(x4, y4). Поскольку квадрат может быть ориентирован произвольно, сначала упростим задачу, предположив, что он расположен параллельно осям координат.
2. Расстояние от точки P(x, y) до вершины квадрата A(x1, y1):
d_A = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2).
3. Расстояние от точки P(x, y) до вершины квадрата B(x2, y2):
d_B = sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2).
4. Для узла (x, y) на клетчатой бумаге, расстояния до всех четырех вершин квадрата должны быть не более, чем s:
d_A ≤ s,
d_B ≤ s,
d_C ≤ s,
d_D ≤ s.
5. Определите область на клетчатой бумаге, где выполняются все четыре условия. Это будет пересечение четырех кругов с центрами в вершинах квадрата и радиусами s.
6. Подсчитайте количество узлов (целых точек) в этой области.
Для квадрата со стороной 2 и находящегося в начале координат (вершины A, B, C, D расположены в точках (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)), например:
- Круги имеют радиус 2 и центр в каждой из вершин квадрата.
- Пересечение четырех кругов с радиусом 2 вокруг вершин квадрата дает узлы в пределах и на границах квадрата.
7. Подсчитайте количество целых узлов внутри этого пересечения. В случае квадрата с вершинами в (0,0), (2,0), (2,2), (0,2), узлы, которые удовлетворяют условиям: (1,1), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2), (2,2), (0,2), (2,0), (0,0), (1,1) и границы.
Ответ:
Всего 9 узлов.