Рассмотрим квадрат, у которого длина стороны равна a. Мы ищем множество всех точек М внутри квадрата, для которых расстояние до всех четырех вершин квадрата не больше длины стороны квадрата.
1. Определение условия для точки внутри квадрата
Пусть вершины квадрата обозначены как A, B, C и D. Расстояния от точки М до вершин квадрата обозначим как d1, d2, d3 и d4, соответственно. Мы ищем точки М такие, что:
d1 ≤ a
d2 ≤ a
d3 ≤ a
d4 ≤ a
2. Анализ расстояний
Расстояние от точки М до любой из вершин квадрата можно выразить через координаты точки М и вершины квадрата. Если стороны квадрата параллельны осям координат, и одна из вершин квадрата находится в начале координат, то координаты вершин будут (0,0), (a,0), (a,a) и (0,a). Точка М имеет координаты (x,y). Тогда расстояния от точки М до вершин квадрата можно записать как:
d1 = sqrt(x^2 + y^2)
d2 = sqrt((x - a)^2 + y^2)
d3 = sqrt((x - a)^2 + (y - a)^2)
d4 = sqrt(x^2 + (y - a)^2)
Мы ищем точки, для которых все эти расстояния не превышают a.
3. Рассмотрение квадрата
На рисунке, который можно представить, видно, что для любой точки внутри квадрата, расстояния до всех четырех вершин будут меньше либо равны a, если точка лежит внутри определенной области, ограниченной квадратом. Эта область называется ромбовидным четырёхугольником.
4. Формула для ромбовидного четырехугольника
Это ромбовидное множество ограничено четырьмя окружностями радиуса a, центры которых находятся в вершинах квадрата. Площадь этого ромба может быть найдена следующим образом:
Из геометрических соображений, можно показать, что площадь этой области будет равна площади исходного квадрата. Это происходит из-за симметрии и того, что все четыре области, в которые входят точки, находящиеся на определенном расстоянии от углов квадрата, составляют вместе весь квадрат.
Следовательно, искомое множество точек совпадает с самим квадратом.
Площадь множества всех точек М равна площади квадрата, которая равна a^2.
Ответ: Площадь множества точек равна a^2.