Дано: квадрат ABCD со сторонами длины a. Средние точки сторон квадрата соединены с двумя противоположными вершинами, образуя четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник можно вписать в окружность.
Решение:
1. Обозначим квадрат ABCD. Пусть M, N, P и Q - средние точки сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Соединены следующие отрезки:
- A с M и N
- B с N и P
- C с P и Q
- D с Q и M
Это образует четырёхугольник MNPQ.
2. Найдём длину отрезков AM, AN, BN, BP, CP, CQ и DQ. Поскольку M, N, P и Q - средние точки сторон квадрата, отрезки между ними и вершинами квадрата будут равны половине длины стороны квадрата.
Длину отрезков можно вычислить, используя теорему Пифагора:
- AM = AN = BM = CN = CP = DQ = a/2
- Например, AM = sqrt((a/2)^2 + (a/2)^2) = a/sqrt(2)
3. Показать, что четырёхугольник MNPQ можно вписать в окружность, необходимо доказать, что он является циклическим. Это означает, что сумма противоположных углов четырёхугольника должна составлять 180 градусов.
4. Поскольку M и Q - средние точки сторон квадрата, а также N и P, отрезки MQ и NP являются диагоанальными линиями, перпендикулярными между собой, так как они образуются из диагоналей квадрата и его вспомогательных линий.
5. Заметим, что:
- Углы MNP и PQM образованы прямыми углами между отрезками, так как угол между диагоналями квадрата и средними линиями равен 90 градусам.
6. Таким образом, все углы MNP и PQM (внутренние углы) равны по 90 градусам. Следовательно, сумма противоположных углов этих четырехугольников равна 180 градусов, что доказывает, что четырёхугольник MNPQ является циклическим.
Ответ: Четырёхугольник MNPQ можно вписать в окружность.