Дано: Окружность с центром O и радиусом R. Касательная к окружности в точке A.
Найти: Доказать, что все точки окружности лежат по одну сторону от касательной.
Решение:
1. Пусть C - произвольная точка на окружности. Касательная в точке A имеет направление, перпендикулярное радиусу OA в точке A.
2. Рассмотрим треугольник OAC, где O - центр окружности, A - точка касания, C - произвольная точка на окружности. В треугольнике OAC радиус OA перпендикулярен касательной, так что угол OAC равен 90 градусов.
3. Расстояние от точки C до касательной можно найти через проекцию радиуса OC на направление касательной. Поскольку OA и OC равны радиусам и образуют угол 90 градусов с касательной, точка C всегда находится на одной стороне от касательной.
4. Также можно доказать это через скалярное произведение. Вектор OC направлен от центра окружности к точке C. Вектор касательной можно взять перпендикулярно OA. Так как радиус OC всегда направлен наружу от касательной, скалярное произведение вектора OC и нормали к касательной всегда положительно, подтверждая, что C лежит по одну сторону от касательной.
Ответ: Все точки окружности лежат по одну сторону от касательной.