Дано: Окружность касается всех сторон квадрата. Касательная к окружности отсекает от квадрата меньший треугольник.
Найти: Во сколько раз периметр этого треугольника меньше периметра квадрата?
Решение:
1. Пусть квадрат имеет сторону a. Периметр квадрата равен 4a.
2. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен a/2. Касательная к окружности, проведенная из одной из вершин квадрата, будет параллельна одной из сторон квадрата и на расстоянии от неё равна радиусу окружности, то есть a/2.
3. Рассмотрим треугольник, образованный двумя касательными отрезками и стороной квадрата. В этом случае треугольник будет равнобедренным с боковыми сторонами равными a и основанием равным a - 2*(a/2) = 0. Однако это треугольник неправильно представлять в этом виде, поэтому лучше использовать свойства и соотношения треугольника и квадрата.
4. На самом деле, касательная отсекает треугольник, основание которого равно a, а высота этого треугольника равна радиусу окружности, то есть a/2.
5. Периметр такого треугольника состоит из двух равных касательных сторон и одной стороны квадрата. Поскольку касательные к окружности отсекают равные отрезки, периметр треугольника будет равен a + 2*(a/2) = 2a.
6. Сравнивая периметры, периметр треугольника 2a, периметр квадрата 4a.
7. Таким образом, периметр треугольника меньше периметра квадрата в 2 раза.
Ответ: Периметр треугольника меньше периметра квадрата в 2 раза.