Дано: периметр треугольника ABC равен 9; отрезок касательной, проведенной к вписанной окружности и параллельной стороне AB, равен 1.
Найти: длину стороны AB.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника:
- AB = c
- AC = b
- BC = a
2. Периметр треугольника можно записать как:
a + b + c = 9.
3. Обозначим r как радиус вписанной окружности треугольника ABC. Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр (s):
S = r * s,
где s = (a + b + c) / 2 = 9 / 2 = 4.5.
4. Длина отрезка касательной, проведённого из точки касания до сторон треугольника, равна:
x = (s - a)(s - b) = (4.5 - a)(4.5 - b).
5. Из условия задачи нам известно, что этот отрезок равен 1:
(4.5 - a)(4.5 - b) = 1.
6. Разложим уравнение:
20.25 - 4.5a - 4.5b + ab = 1,
ab - 4.5a - 4.5b + 19.25 = 0.
7. Подставим b = 9 - a - c в это уравнение:
a(9 - a - c) - 4.5a - 4.5(9 - a - c) + 19.25 = 0.
Упрощая, получаем:
9a - a^2 - ac - 4.5a - 40.5 + 4.5a + 4.5c + 19.25 = 0.
Это упростится до:
- a^2 + (c - 1.5)a + (c - 21.25) = 0.
8. Теперь воспользуемся свойством параллельности:
Отрезок между AC и CB равен 1, тогда по теореме о параллельных линиях для треугольника, мы можем написать:
c = 2.
9. Проверим периметр: если c = 2, то a + b = 9 - 2 = 7.
10. У нас есть теперь:
(4.5 - a)(4.5 - (7 - a)) = 1,
(4.5 - a)(a - 2.5) = 1.
11. Раскроем скобки:
4.5a - a^2 - 11.25 + 2.5a = 1,
- a^2 + 7a - 12.25 = 0.
12. Решим квадратное уравнение:
D = 7^2 - 4 * 1 * (-12.25) = 49 + 49 = 98,
a = (7 ± sqrt(98)) / 2.
13. Принимая одно значение для a и подставляя обратно в систему, можно найти c.
Ответ: сторона AB равна 2.