Дано:
- Две окружности с общим центром O.
- Радиус меньшей окружности R.
- Радиус большей окружности 2R.
- Найти угол между касательными, проведенными из точки касания меньшей окружности к большей окружности.
Решение:
1. Рассмотрим окружности с центром O. Радиус меньшей окружности равен R, а радиус большей окружности равен 2R.
2. Пусть точка касания меньшей окружности с касательной будет A, а точка касания большей окружности с касательной будет B. Мы будем искать угол между касательными, проведенными из точки A и B, к окружности.
3. Касательные, проведенные из точки A к большому кругу, пересекутся в точке C на окружности большего радиуса. Поскольку точки касания к окружности перпендикулярны радиусам, мы знаем, что углы, образованные касательными, равны углу между линией от центра O и касательной.
4. Так как одна окружность в два раза больше другой, треугольник, образованный радиусами и касательными, является прямоугольным треугольником. Это следует из геометрических свойств касательных и окружностей.
5. Рассмотрим угол между касательными. В треугольнике OAC и OBC угол OAB является центральным углом между радиусами двух окружностей и касательными. Поскольку радиусы в этом треугольнике равны R и 2R, угол OAB равен 90 градусов, и касательные из одной точки пересекаются под прямым углом к линии, соединяющей их касательные.
6. Углы между касательными, проведенными из точки одной окружности к другой, будут равны. Для двух окружностей с центром в одной точке и различными радиусами, угол между касательными будет 90 градусов.
Ответ:
Угол между касательными, проведенными из точки меньшей окружности к большей окружности, равен 90 градусов.