Дано:
- Окружность с радиусом R.
- Две окружности, касающиеся этой окружности изнутри, и касающиеся друг друга внешним образом.
Найти:
- Периметр треугольника, образованного центрами этих двух окружностей.
Решение:
1. Обозначим радиусы двух окружностей как r1 и r2. Поскольку обе окружности касаются основной окружности изнутри, их радиусы можно найти следующим образом. Радиус основной окружности R равен сумме радиусов этих окружностей и расстояния между их центрами.
2. Расстояние между центрами двух окружностей можно выразить как сумму их радиусов: d = r1 + r2, так как окружности касаются друг друга внешним образом.
3. Для определения радиусов r1 и r2 окружностей, касающихся основной окружности изнутри, используем следующую формулу:
r1 = R - r1
r2 = R - r2
4. Подставляем r1 и r2 в уравнение расстояния между центрами окружностей:
d = (R - r1) + (R - r2)
d = 2R - (r1 + r2)
5. Мы уже знаем, что d = r1 + r2, подставляем это в уравнение:
r1 + r2 = 2R - (r1 + r2)
2(r1 + r2) = 2R
r1 + r2 = R
6. Теперь мы можем найти периметр треугольника, образованного центрами окружностей. Это треугольник с длинами сторон:
- Между центрами двух касающихся окружностей: r1 + r2 = R
- Между центром первой окружности и центром основной окружности: R - r1
- Между центром второй окружности и центром основной окружности: R - r2
Периметр треугольника будет равен:
(R - r1) + (R - r2) + (r1 + r2) = R - r1 + R - r2 + r1 + r2 = 2R
Ответ:
Периметр треугольника, образованного центрами этих двух окружностей, равен 2R.