дано: две окружности касаются внешним образом, и каждая из них касается одной из двух параллельных прямых. Пусть r1 и r2 — радиусы двух окружностей, d — расстояние между двумя параллельными прямыми.
найти: доказать, что три точки касания лежат на одной прямой.
решение:
1. Обозначим окружности как O1 и O2 с центрами в точках C1 и C2 соответственно. Пусть окружность O1 касается прямой l1, а окружность O2 — прямой l2. Расстояние между прямыми l1 и l2 равно d, и радиусы окружностей равны r1 и r2 соответственно. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами C1 и C2 равно r1 + r2.
2. Для нахождения точек касания: точка касания первой окружности с прямой l1 обозначим как A1, а точка касания второй окружности с прямой l2 обозначим как A2. Эти точки касания лежат на одной прямой, так как касательные к окружностям из одной и той же точки прямой перпендикулярны к радиусам в точках касания.
3. Рассмотрим радиусы от центров окружностей к точкам касания. Пусть точка касания окружности O1 и прямой l2 обозначена как A3. Так как касательные к окружности из одной точки параллельны, и обе окружности касаются внешним образом, то прямая, проходящая через точки касания окружностей с прямыми l1 и l2, также будет касательной.
4. Поскольку прямые l1 и l2 параллельны, а точки касания A1 и A2 являются касательными точками окружностей с этими прямыми, прямая, соединяющая точки A1, A2 и A3 (которые являются точками касания окружностей с параллельными прямыми), также будет параллельна прямым и касательной.
ответ: три точки касания лежат на одной прямой, так как прямая касания параллельна прямым, на которых касаются окружности.