Дано: Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность. Касательная к этой окружности в точке C образует угол 30° с прямой АВ.
Найти: Угол при вершине В треугольника АВС.
Решение:
1. В равнобедренном треугольнике АВС, в котором основание АВ и боковые стороны ВС и АС равны, угол при вершине В является углом между равными сторонами.
2. Углы при касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, равны углам между касательной и соответствующей хордой. Поэтому угол между касательной в точке C и хордой АВ равен углу при вершине треугольника АВС в точке A.
3. Касательная в точке C формирует угол 30° с прямой АВ. Следовательно, угол между касательной и хордой в точке C равен 30°.
4. Поскольку треугольник АВС равнобедренный, углы при основании равны. Поэтому угол, который мы ищем, будет в два раза больше угла, образованного касательной.
5. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, угол при вершине равен 180° минус сумма двух равных углов. В данном случае это 180° - 2 * 30° = 120°.
Ответ: Угол при вершине В треугольника АВС равен 120°.