Дано:
1. Три окружности касаются друг друга внешним образом.
2. Две прямые проходят через точки касания окружностей и пересекают одну из этих окружностей во вторичных точках.
Найти:
Показать, что точки пересечения этих прямых с окружностью являются диаметрально противоположными.
Решение:
1. Обозначим окружности как O1, O2 и O3, где O1 и O2 касаются друг друга внешним образом, а O3 касается внешним образом окружностей O1 и O2. Пусть радиусы окружностей O1, O2 и O3 равны r1, r2 и r3 соответственно. Пусть C1, C2 и C3 — центры окружностей O1, O2 и O3 соответственно.
2. Пусть прямая l1 касается окружностей O1 и O2 в точках A1 и A2 соответственно, и прямая l2 касается окружности O2 и O3 в точках B1 и B2 соответственно.
3. Рассмотрим прямую l1. Она пересекает окружность O3 в двух точках P1 и P2. Мы хотим показать, что точки P1 и P2 являются диаметрально противоположными.
4. Заметим, что прямая l1, проходящая через точки касания окружностей O1 и O2, является касательной к окружностям O1 и O2. Поскольку окружности касаются внешним образом, их касательные (в данной точке) будут параллельны прямой, соединяющей точки касания. Это означает, что прямая l1 также будет касательной к окружности O3, если пересечь её в точках P1 и P2.
5. Аналогично, прямая l2 пересекает окружность O3 в двух точках, и эта прямая также является касательной к окружности O3 в точках P1 и P2.
6. Для того чтобы прямая пересекала окружность в двух точках и была касательной, эти точки должны быть диаметрально противоположными. Иначе говоря, если прямая пересекает окружность в двух точках и является касательной к окружности, то эти две точки лежат на диаметре окружности.
7. Следовательно, точки P1 и P2, где прямая l1 или l2 пересекает окружность O3, являются диаметрально противоположными точками.
Ответ:
Точки пересечения прямых l1 и l2 с окружностью O3 являются диаметрально противоположными.