дано:
- три окружности с центрами O1, O2, O3 и радиусами R1, R2, R3, которые касаются друг друга внешним образом.
- точки касания окружностей обозначены как A, B и C.
найти:
доказать, что окружность, проходящая через точки A, B и C, вписана в треугольник O1O2O3.
решение:
1. Рассмотрим треугольник O1O2O3, образованный центрами окружностей.
2. Поскольку окружности касаются друг друга, точки A, B и C являются точками касания, соответствующими центрам окружностей O1, O2 и O3.
3. По свойству окружностей, касающихся друг друга, радиусы R1, R2 и R3 будут перпендикулярны к отрезкам, соединяющим центры окружностей с точками касания:
- OA перпендикулярна O1A,
- OB перпендикулярна O2B,
- OC перпендикулярна O3C.
4. Это означает, что углы O1AB, O2BC и O3CA равны 90°.
5. Окружность, проходящая через точки A, B и C, будет вписана в треугольник O1O2O3, если отрезки, проведенные из центров окружностей к точкам касания, равны. Это выполняется, так как радиусы R1, R2 и R3 обеспечивают равенство отрезков O1A, O2B и O3C.
6. Из этого следует, что точка касания окружности с треугольником O1O2O3 будет совпадать с точками A, B и C, что и доказало, что окружность вписана в этот треугольник.
ответ:
окружность, проходящая через три точки касания, вписана в треугольник O1O2O3.