Дано:
Четырехугольник ABCD, вписанный в окружность, на всех сторонах которого высекаются равные хорды.
Найти:
Доказательство того, что биссектрисы всех углов четырехугольника пересекаются в одной точке.
Решение:
1. Пусть длины хорд на каждой стороне четырехугольника равны l.
2. Рассмотрим точки касания хорд с сторонами:
На стороне AB: M и N
На стороне BC: P и Q
На стороне CD: R и S
На стороне DA: T и U
3. Из условия о равных хордах следует, что AM = AN = BP = BQ = CR = CS = DT = DU = l/2.
4. Применяем теорему о биссектрисах:
Если стороны четырехугольника делятся на равные отрезки, то отношение сторон между собой остается постоянным.
5. Обозначим углы четырехугольника как ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
6. Так как противоположные углы в углах четырехугольника являются дополнительными, то выполняется:
∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
7. Это означает, что уравнение углов не нарушается, и таким образом условия для пересечения биссектрис сохраняются.
8. Поскольку суммы углов сохраняют равновесие, существует точка, где все биссектрисы пересекаются.
Ответ:
Биссектрисы всех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, так как соответственно отношения сторон сохраняются при равных хордах.