Дано:
- точка P
- две прямые, пересекающие окружность в точках A, B и C, D, образующие равные хорды AB и CD
- A находится между P и B, C находится между P и D
Найти: длины отрезков PA и PC.
Решение:
1. Обозначим длины хорд AB и CD как L. Поскольку хорды равны, имеем:
AB = CD = L.
2. Пусть M и N - середины хорд AB и CD соответственно.
3. Из прямоугольных треугольников PAM и PCN, где PM и PN - перпендикуляры, опущенные из точки P на хорды AB и CD, можно записать:
PA^2 = PM^2 + AM^2
PC^2 = PN^2 + CN^2
Так как AM = CN (половины хорд равны), обозначим их как x:
PA^2 = PM^2 + x^2
PC^2 = PN^2 + x^2
4. Теперь нужно найти PM и PN. Из свойства окружности и равенства хорд следует, что PM и PN будут равны, поскольку хорды расположены симметрично относительно точки P.
5. Обозначим PM = PN = h. Тогда получаем:
PA^2 = h^2 + x^2
PC^2 = h^2 + x^2
6. Это показывает, что PA^2 = PC^2, следовательно, PA = PC.
Ответ: PA = PC.