Дано:
Равносторонний треугольник ABC со стороной 1. Обозначим угол A как 60 градусов.
Найти:
Периметр отрезанного треугольника.
Решение:
1. В равностороннем треугольнике ABC, все стороны равны и равны 1. Сторона BC является основанием.
2. Обрезаем меньший треугольник A'B'C', так что биссектрисса внешнего угла A делит сторону BC пополам. Обозначим точку D как середину стороны BC. Тогда BD = DC = 1/2.
3. Угол A равен 60 градусам, следовательно, внешний угол A равен 120 градусам.
4. Биссектрисса внешнего угла A делит его на два угла по 60 градусов, что означает, что точка B' находится на продолжении стороны AB, а точка C' на продолжении стороны AC.
5. Мы знаем, что в треугольнике A'B'C' угол A' равен 60 градусам, потому что он образован биссектрисой внешнего угла A.
6. Чтобы найти длину сторон A'B', A'C' и B'C', воспользуемся свойством равностороннего треугольника. Мы можем применить теорему синусов:
A'B' / sin(60°) = AD / sin(другой угол), где AD = 1 (так как это высота равностороннего треугольника).
7. Рассмотрим высоту AD: h = (sqrt(3)/2) * 1 = sqrt(3)/2.
8. Теперь найдем длины отрезанных сторон A'B' и A'C':
A'B' = 1 * sin(60°) = sqrt(3)/2,
A'C' = 1 * sin(60°) = sqrt(3)/2.
9. Сторона B'C' будет равна BD + DC = 1/2 + 1/2 = 1.
10. Периметр отрезанного треугольника A'B'C' равен:
P = A'B' + A'C' + B'C' = (sqrt(3)/2) + (sqrt(3)/2) + 1 = sqrt(3) + 1.
Ответ:
Периметр отрезанного треугольника равен sqrt(3) + 1.