Дан четырехугольник ABCD, в котором ∠ABD = ∠CBD = 60°, ∠ADB = 40°, a ∠BDC — 70°. Найдите угол между его диагоналями.
от

1 Ответ

Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором ∠ABD = 60°, ∠CBD = 60°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 70°.

Найти:
Угол между диагоналями AC и BD.

Решение:
1. Начнем с построения четырехугольника ABCD. Вершины будут обозначены так, что A находится в точке (0, 0), B в точке (b, 0) и D в точке (0, d).
2. Из условия задачи у нас есть несколько углов, которые можем использовать. Угол ∠ABD равен 60°, следовательно, угол ∠DBA будет равен 120° (так как сумма углов в треугольнике ABD равна 180°).
3. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем два его угла: ∠ABD = 60° и ∠ADB = 40°. Следовательно, мы можем вычислить третий угол:
   ∠A + ∠B + ∠C = 180°
   ∠DAB + ∠ADB + ∠ABD = 180°
   ∠DAB + 40° + 60° = 180°
   ∠DAB = 80°.
4. Теперь следует рассмотреть треугольник BCD. У нас есть угол ∠BDC = 70° и угол ∠BCD = 60°. Здесь также можем найти третий угол:
   ∠B + ∠C + ∠D = 180°
   ∠BDC + ∠BCD + ∠CBDA = 180°
   70° + 60° + ∠CDB = 180°
   ∠CDB = 50°.
5. Теперь имеем все углы для треугольника BCD: ∠CBD = 60°, ∠BDC = 70° и ∠CDB = 50°.
6. Чтобы найти угол между диагоналями AC и BD, воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми. Угол между AC и BD можно выразить через углы, которые мы нашли в треугольниках ABD и BCD.
7. Найдем угол между AC и BD. Угол ADB + угол BDC = угол между диагоналями.
8. То есть, угол между диагоналями AC и BD равен:
   угол между AC и BD = ∠ADB + ∠BDC = 40° + 70° = 110°.

Ответ:
Угол между диагоналями AC и BD равен 110°.
от