Стороны AB и CD четырёх угольника ABCD равны a и b. Известно, что ∠ABD + ∠BDC = 180°, ∠ADB + ∠CBD = ∠BCD. Найдите AD.
от

1 Ответ

Дано:
- Четырехугольник ABCD, где:
  - Сторона AB = a.
  - Сторона CD = b.
  - Углы ∠ABD + ∠BDC = 180°.
  - Углы ∠ADB + ∠CBD = ∠BCD.

Найти:
- Найти длину стороны AD.

Решение:
1. Поскольку ∠ABD + ∠BDC = 180°, это означает, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности (по теореме о вписанных углах).

2. Обозначим углы:
   - ∠ABD = x.
   - ∠BDC = 180° - x.

3. Теперь рассмотрим угол ∠ADB:
   - По условию ∠ADB + ∠CBD = ∠BCD.
   - Обозначим ∠CBD = y и ∠BCD = z.

4. Тогда:
   - ∠ADB + y = z.
   - Следовательно, ∠ADB = z - y.

5. Поскольку ABCD является вписанным четырехугольником, то:
   - Сумма противоположных углов равна 180°:
     ∠ABD + ∠CDB = 180° и ∠ADB + ∠BCD = 180°.

6. Из этого следует, что:
   - ∠CDB = 180° - (180° - x) = x.

7. Теперь применим закон косинусов в треугольнике ADB:
   AD² = AB² + BD² - 2 * AB * BD * cos(∠ABD).

8. Поскольку AB = a и CD = b, а углы равны, можем записать:
   AD² = a² + b² - 2 * a * b * cos(x).

9. Используя свойства вписанного четырехугольника и равенство углов, мы можем сказать, что AD = b.

Ответ:
Длина стороны AD равна b.
от